Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD， E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．則四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結論．

Answer 1

四邊形EFGH是正方形．

證明：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，

∴EF=AC，

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，

∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，   

∴四邊形EFGH是菱形．       

設AC與BD交于點O，AC與EH交于點M

在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，

∴EH∥BD，同理GH∥AC，

∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，

∵EH∥BD，∴∠EMC=∠BOC =90°，   

∵HG∥AC，∴∠EHG=∠EMC=90°，

∴四邊形EFGH是正方形．