Question

如圖，已知二次函數y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點M在反比例函數上，且與x軸交于AB兩點．
（1）若二次函數的對稱軸為，試求a，c的值；
（2）在（1）的條件下求AB的長；
（3）若二次函數的對稱軸與x軸的交點為N，當NO+MN取最小值時，試求二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對稱軸x=-=-，求得二次函數y=ax²+2x+c（a＞0）中的a，再根據頂點在反比例函數上，求出c即可；
（2）求得拋物線與x軸的交點坐標，再用點B的橫坐標減去點A的橫坐標即可．
（3）可用含有a的式子表示點M、N的坐標，即求出a的值，再求得解析式．
解答：解：（1）∵二次函數的對稱軸為，
∴-=-，
解得a=2，
∵二次函數y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點M在反比例函數上，
∴頂點為（-，c-），
∴（c-）=-3，
解得c=-，
∴二次函數的解析式為y=2x²+2x-；

（2）∵二次函數的解析式為y=2x²+2x-；
∴令y=0，2x²+2x-=0；
解得x=．
∴AB==2；

（3）根據對稱軸x=-，當x=-時，y=-3a，
∴NO+MN=+3a≥2=2，當3a=時NO+MN最小，
 即3a²=1時，a=，
∴c=0，
∴此時二次函數的解析式為y=x²+2x．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有最值問題和兩點之間的距離等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．