Question

如圖，平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線AB：y=x+12與直線CD：y=kx+10k交于點E，且E點的縱坐標為-2，
（1）求直線CD的解析式；
（2）動點P從B出發以每秒個單位的速度沿射線BA運動，過點P作PQ∥x軸交直線CD于Q，若點P的運動時間為t秒，PQ的長度為y，求y與t的函數關系式（t＞0）；
（3）在（2）的條件下，求t為何值時，△PQO的外接圓與坐標軸相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）將E點的縱坐標-2代入y=x+12，即可求出E點的坐標，再將E點的坐標代入y=kx+10k，即可求出直線CD的解析式；
（2）先根據坐標軸上點的特點得到A、B、C、D的坐標，由勾股定理得到AB，CD的長，過P作PF⊥OB，過Q作QG⊥OD，根據三角函數的知識得到QG=PF=t，再根據兩點間的距離公式可得
y與t的函數關系式（t＞0）；
（3）分兩種情況：①∵與x軸相切；②過PQ中點G作GH⊥OD于D，以H為圓心，當H在x軸負半軸；當H在x軸正半軸討論求解即可．
解答：解：（1）∵E在y=x+12上，且E點的縱坐標為-2，
∴x+12=-2，
解得：x=-14，
∴E（-14，-2），
∵E在y=kx+10k上，
∴-14k+10k=-2
解得：k=，
故直線CD的解析為：y=x+5；

（2）∵y=x+12交x、y軸于點B、A，
∴B（-12，0），A（0，12），
∵y=x+5與x、y軸交于點D、C，
∴D（-10，0），C（0，5），
在Rt△AOB中：AB==12，
在Rt△DCO中，CD==5，
過P作PF⊥OB，過Q作QG⊥OD，
∵BP=t，且∠ABO=45°，
∴PF=BP•sin45°=t×=t，
∴QG=PF=t，
∵P在y=x+12上，
∴P（t-12，t）
∵Q在y=x+5上，
∴Q（2t-10，t），
∴y=2t-10-（t-12）=t+2，
∴y與t的函數關系式為：y=t+2；

（3）分兩種情況：
①∵與x軸相切，
∴OG為直徑
∴PH=QH
∴PQ=t+2
PH=
∵PH∥BO
∴△APH∽△ABO
∴
t=
②過PQ中點G作GH⊥OD于D，
∵HO⊥AO
∴H為圓心，當H在x軸負半軸
∴GQ=PQ=t+1
∵△CQF∽△CDO
∴QF=10-2t
∴PF=12-t
∴FO=GH=t
在△GQH中：
t²+（t+1）²=（11-t）²，
解得：t=30（舍），t=4．
同理當H在x軸正半軸
當t=解得：t=30，t=4（舍）．
綜上：當t=30，t=或t=4時，△PQO的外接圓與坐標軸相切．
點評：本題主要考查了待定系數法，勾股定理，三角函數以及一次函數的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據與x軸、y軸相切進行分類求解．