Question

18、已知△ABC，利用直尺和圓規，根據下列要求作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法），并根據要求填空：
（1）作∠ABC的平分線BD交AC于點D；
（2）作線段BD的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F．
（3）連接ED、FD，判斷四邊形BEDF是什么四邊形．

Answer 1

分析：（1）以點B為圓心，任意長為半徑畫弧與AB，BC交于兩點，再以這兩點為圓心，大于兩點間距離的一半為半徑畫弧，連接兩弧的交點與B，與AC交于點D．BD就是所求的角平分線．
（2）分別以B、D為圓心，大于BD的一半為半徑畫弧，連接兩弧的交點，交AB于點E，交BC與點F，EF就是所求的線段的垂直平分線；
（3）因為EF垂直平分BD，可求證△BOE≌△DOE、△BOF≌△DOF，又因為BD平分∠ABC，所以可證明ED∥BF、DF∥BE，
BE=DE，故四邊形BEDF是菱形．

解答：解：從圖中可能看出BD平分∠ABC，EF垂直平分BD；

（3）平行四邊形，如上圖：
∵EF垂直平分BD
∴OB=OD，∠BOE=∠DOE
∵OE=OE
∴△BOE≌△DOE
∴∠EBO=∠EDO，BE=DE
∵∠EBO=∠FBO
∴∠EDO=∠FBO
∴ED∥BF
同理可證DF∥BE
∴四邊形BEDF是菱形．

點評：本題主要考查了平行四邊形的判定、線段垂直平分線的性質和角平分線的性質．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．