Question

如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N．有下列四個結論：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等邊三角形；④S_△BEF=3S_△DEF．其中，將正確結論的序號全部選對的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：由折疊的性質、矩形的性質與角平分線的性質，可證得CF=FM=DF；
易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN；
易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形；
易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折疊的性質可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF；故①正確；
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，故②正確；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF=FN，
∴BE=BN，
但無法求得△BEN各角的度數，
∴△BEN不一定是等邊三角形；故③錯誤；
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM，
∴BE=3EM，
∴S_△BEF=3S_△EMF=3S_△DEF；
故④正確．
故選B．
點評：此題考查了折疊的性質、矩形的性質、角平分線的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．