Question

【題目】如圖，是的直徑，點是劣弧上一點，，且，平分，與交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若，求的長；

（3）延長，交于點，若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由圓周角定理可得∠ADB=90°，進而可得∠DAB+∠ABD=90°，再利用等量代換得到∠DAB=∠PBD，證得∠ABP=90°即可；

（2）連接AE，由圓周角定理可得∠AEB=90°，再由角平分線的定義得到∠ABE=∠DBE，最后根據三角函數的定義即可得解答；

（3）連接OE，設的半徑為，由等腰三角形的性質可得∠ABE=∠OEB，再由等量代換得到∠DBE=∠OEB，最后根據相似三角形的性質得到解答即可．

證明（1）∵是的直徑

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即

∴

又是的半徑

∴是的切線

解（2）連接

∴

∵平分

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（3）連接，設的半徑為

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

即

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即

∴

∴的半徑為