Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分線.

（1）用尺規作圖：作∠AEC的平分線EN（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；

（2）設EN與AF交于點M，判斷△AEM的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）△AEM是等腰直角三角形，理由見解析

【解析】分析：(1)以E為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AE于G，交EC于H，分別以G、H為圓心，以大于 GH為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線EN，交AM于F．

(2)求出∠BAE=∠CAE，求出∠FAE= ×180°=90°，求出∠CEM=∠AME=∠AEM，推出AE=AM，即可得出答案．

解:（1）作射線EN（如圖）.

（2）△AEM是等腰直角三角形.

在△ABC中，∵AB=AC，AE是高，

∴AE平分∠BAC.

又AM平分∠CAE,

∴AE⊥AM.

∵AE是高，∠AEC=,EN平分∠AEC,∴∠AEM＝45°.

∴∠AME＝45°. ∴AE＝AM.

即△AEM是等腰直角三角形.