Question

如圖，要在底邊BC=160cm，高AD=120cm，的△ABC鐵皮余料上截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點G在AC上，點E、F在BC上，AD交HG于點M，此時

AM

AD

=

HG

BC

．
（1）設矩形EFGH的長HG=y，寬HE=x，確定y與x的函數關系式；
（2）當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大；
（3）以面積最大的矩形EFGH為側面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣圍時，才能使鐵桶的體積最大？請說明理由（注：圍鐵桶側面時，接縫無重疊，底面另用材料配備）

Answer 1

分析：（1）按題目給出的比例關系式求解即可；
（2）根據矩形的面積公式可得出S=xy，根據（1）得出的關于x，y的函數關系式可用x替換掉y即可得出S與x的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最大值及對應的x的值；
（3）根據（2）得出的矩形的長和寬，可用長方形的長為底面周長，寬為高來圍鐵桶，也可用長方形的寬為底面周長，長為高來圍鐵桶．分別計算出兩種圍法圍出的鐵桶的體積，然后找出體積最大的哪種情況即可．

解答：解：（1）∵

AM

AD

=

HG

BC

，
∴

120-x

120

=

y

160

∴y=-

4

3

x+160（或x=-

3

4

y+120）；

（2）∵S=xy，
∴S=-

4

3

x²+160x=-

4

3

（x²-120x）=-

4

3

（x²-120x+3600-3600）
=-

4

3

（x-60）²+4800．
所以當x=60cm時，Smax=4800cm²；

（3）圍圓柱形鐵桶有兩種情況：
當x=60cm時，y=-

4

3

×60+160=80cm．
第一種情況：以矩形EFGH的寬HE=60cm作鐵桶的高，長HG=80cm作鐵桶的底面周長．
則底面半徑R=

80

2π

cm，鐵桶體積V₁=π•（

80

2π

）²•60=

96000

π

（cm³），
第二種情況：以矩形EFGH的長HG=80cm作鐵桶的高，寬HE=60cm作鐵桶的底面周長，
則底面半徑r=

60

2π

cm，鐵桶體積V₂=π•（

60

2π

）²•80=

72000

π

（cm³）．
因為V₁＞V₂．
所以矩形EFGH的寬HE=60cm作鐵桶的高，長HG=80cm作鐵桶的底面周長圍成的圓柱形鐵桶的體積較大．

點評：本題考查了圖形面積的求法、圓柱的體積公式、二次函數的應用等知識點．