Question

如圖，現將一張矩形ABCD的紙片一角折疊，若能使點D落在AB邊上F處，折痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長EF交CB的延長線于點G．
（1）求證：△CEG是等邊三角形；
（2）若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC即AD∥GC，
∴∠G=∠AEF=60°，
由折疊可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°-∠AEF=120°
∴∠GEC=∠CED=∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，
∴△CEG是等邊三角形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，
∴EF=2AE，CE=2DE．設AE=x，則EF=2x，ED=EF=2x，
∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，
在Rt△CDE中，CD=
∴AB=2．
分析：（1）由折疊可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等邊三角形；
（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設AE=x，則EF=2x，由折疊的性質得ED=EF=2x，根據AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求CD，即AB的長．
點評：本題考查了折疊的性質及其運用．關鍵是由折疊求相等的線段，相等的角，把問題集中在直角三角形中使用勾股定理．