Question

【題目】如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120，△ABF為等邊三角形;點E.F分別在菱形的邊BC.CD上滑動，且點E.F不與點B.C.D重合，當點E.F分別在BC.CD上滑動時，求四邊形ABCF的面積= ___________并求△CEF面積的最大值___________

Answer 1

【答案】

【解析】

①連接AC，證明△ABE≌△ACF，將四邊形AECF的面積轉化為的面積即可；

②S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，的面積最小，則可得的面積最大；當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短，即的面積最小，可得結果．

如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD為等邊三角形，

∴∠4=60°，AC=AB．

在△ABE和△ACF中，

∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴S△ABE=S△ACF，

∴S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，

作AH⊥BC于H點，則BH=2，

∴S四邊形AECF=S△ABC=BCAH=BC=，

由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短，

∴△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，

又∵S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則此時△CEF的面積就會最大，

∴S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=﹣×× =．

故答案為.