Question

方案設計：兒童公園有一塊半圓形空地，如圖11所示，根據需要欲在此半圓內劃出一個三角形區域作為健身場地，其中內接于此三角形的矩形區域為兒童游樂場，已知半圓的直徑AB=100米，若使三角形的頂點C在半圓上，且AC=80米．
那么請你幫設計人員計算一下：△ABC中，C到AB的距離是多少米？如果使矩形游樂場DEFN面積最大，此矩形的高DN應為何值？
在實際施工時，發現在AB上距B點18.5米處有一棵古樹，那么這棵樹是否位于最大游樂場的邊上？若在，為保護古樹，請你設計出另外的方案以避開古樹．

Answer 1

解：（1）如圖，∵AB是直徑，且AB=100，AC=80，
∴，
∴，
即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距離為48米．

（2）設DN為x米，則∵△CNF∽△CAB，
∴．
∴，
∴，
當x=24時，游樂場面積最大．

（3）當游樂場面積最大時，DN=EF=24米，
，
．
易得BE=18米，AD=32米．
則BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大樹位于欲修建的游樂場邊上，應重新設計方案．
由圓的對稱性，可把△ABC劃分到半圓的左邊．
分析：（1）首先利用勾股定理得出BC的長，進而利用得出△ABC的面積求出即可；
（2）利用△CNF∽△CAB，得出，進而得出矩形面積表達式，利用二次函數最值求出即可；
（3）利用由圓的對稱性，以AB的垂直平分線為對稱軸作C的對稱點C′，出答案即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的應用以及二次函數最值求法，利用相似三角形的性質得出比例式進而求出是解題關鍵．