Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2＝CECA．

（1）求證：BC＝CD；

（2）分別延長AB，DC交于點P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）⊙O的半徑為4．

【解析】

（1）由DC2=CECA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；

（2）連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r，先證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到=2，則PC=2CD=4，然后證明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性質可計算出r的值．

（1）證明：∵DC2＝CECA，

∴，

而∠ACD＝∠DCE，

∴△CAD∽△CDE，

∴∠CAD＝∠CDE，

∵∠CAD＝∠CBD，

∴∠CDB＝∠CBD，

∴BC＝DC；

（2）連結OC，如圖，

設⊙O的半徑為r，

∵CD＝CB，

∴，

∴∠BOC＝∠BAD，

∴OC∥AD，

∴＝＝2，

∴PC＝2CD＝4，

∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，

∴△PCB∽△PAD，

∴，即，

∴r＝4，

即⊙O的半徑為4．