Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，點A在點B左邊，點B的坐標為（3，0），且拋物線的對稱軸是直線x=．
（1）求此拋物線的表達式．
（2）在拋物線的對稱軸右邊的圖象上，是否存在點M，使銳角三角形AMB的面積等于3？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）（2）條件下，若P點是拋物線上的一點，且∠PAM=90°，求△APM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線對稱軸解析式列式求出b，再把點B的坐標代入求出c，即可得解；
（2）根據拋物線解析式求出點A的坐標，再求出AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出點M到AB的距離，然后根據△AMB是銳角三角形判斷點M在x軸下方，從而確定點M的縱坐標，再代入拋物線解析式計算求出橫坐標，從而得解；
（3）根據點M的坐標可得∠BAM=45°，然后求出∠PAB=45°，從而寫出直線PA的解析式，與拋物線解析式聯立求出點P的坐標，再利用勾股定理求出PA、AM的長度，然后根據直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半計算即可得解．
解答：解：（1）拋物線的對稱軸是直線x=-=，
解得b=-3，
∵點B（3，0）在拋物線上，
∴9-3×3+c=0，
解得c=0．
所以此拋物線的表達式為y=x²-3x；

（2）存在．
理由如下：令y=0，則x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∵點A在點B左邊，
∴點A的坐標為（0，0），
∴AB=3，
設點M到AB的距離為h，則S_△AMB=×3•h=3，
解得h=2，
∵△AMB是銳角三角形，
∴點M應該在x軸的下方，
∴點M的縱坐標為-2，
代入拋物線解析式得，x²-3x=-2，
即x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
又∵點M在對稱軸右邊的圖象上，
∴點M的橫坐標為2，
∴點M的坐標為（2，-2），
此時，過點M作MN⊥x軸于點N，則AN=MN=2，BN=1，
∴∠AMN=45°，∠BMN＜45°，
∴∠AMB＜90°，是銳角，
∴△AMB是銳角三角形，
故存在點M（2，-2），使銳角三角形AMB的面積等于3；

（3）由（2）得∠MAN=45°，
∵∠PAM=90°，
∴∠PAN=90°-45°=45°，
∴點P在直線y=x上，
聯立，
解得（舍去），，
∴點P的坐標為（4，4），
根據勾股定理，AM==2，
PA==4，
所以△APM的面積=AM•PM=×2×4=8．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數的對稱軸，點在拋物線上，三角形的面積，直角三角形的面積以及直線與拋物線的交點的求解，難度不是很大，先求出拋物線的解析式是解題的關鍵，數據的巧妙設計也是本題的一大特點．