Question

（2008•鎮江）如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）∠OCD的平分線CE交⊙O于E，連接OE．求證：E為的中點；
（2）如果⊙O的半徑為1，CD=．
①求O到弦AC的距離；
②填空：此時圓周上存在______個點到直線AC的距離為．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：E為的中點，即要證明CD⊥AB，根據垂徑定理就可以；
（2）根據垂徑定理，CH=CD=，在直角△OCH中，根據勾股定理就可以求出求O到弦AC的距離OH的長度．
解答：（1）證明：∵OC=OE
∴∠E=∠OCE（1分）
又∠OCE=∠DCE
∴∠E=∠DCE
∴OE∥CD（2分）
又OE⊥AB
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴E為的中點；（3分）

（2）解：①∵CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，CD=
∴CH=CD=（4分）
又OC=1
∴sin∠COB=
∴∠COB=60°（5分）
∴∠BAC=30°
作OP⊥AC于P，則OP=OA=；（6分）
②OP=，則MP=，即M到AC的距離是，在上其它點到AC的距離一定小于；
在上一定有2個點到AC的距離等于．
故圓上有3點到AC的距離是．
故答案是：3．（7分）
點評：本題主要考查了垂徑定理，可以把求弦長，弦心距的問題轉化為解直角三角形的問題．