Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG。請探究：
（1）線段AE與CG是否相等？請說明理由。
（2）若設AE=x，DH=y，當x取何值時，y最大？
（3）連接BH，當點E運動到AD的何位置時，△BEH∽△BAE。

Answer 1

解：（1）AE=CG，
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG；
（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH，
∴ 
∴，
∴y=-x²+x =-（x-）²+
當x=時，y有最大值為； 
（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中點，
∴AE=，
∴DH=，
又∵△ABE∽△DEH，
∴，
又∵，
∴，
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE。