Question

（2013•相城區模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°； AD∥BC，BC=BD=5cm，CD=

10

cm．點P由B出發沿B方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設運動時間為t（s）（0＜t＜2.5）．解答下列問題：
（1）AD的長為

4

：
（2）當t為何值時，PE∥AB？
（3）設△PEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（4）連接PF，在上述運動過程中，試判斷PE、PF的大小關系并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥BC于點M，利用勾股定理求出AD的長即可；
（2）利用PE∥AB，得出

DE

DA

=

DP

BD

，進而求出t的值；
（3）首先得出Rt△ABD～Rt△GED，則

AB

BD

=

GE

DE

，得出GE=

3

5

t，PQ=5-2t，即可得出y與t的函數關系式；
（4）根據DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，得出△PDE≌△FBP（SAS），即可得出答案．

解答：解：（1）過點D作DF⊥BC于點M，設BM=x，DM=y，則
BM²+DM²=BD²，DM²+MC²=CD²，
∴x²+y²=5²①，y²+（5-x）²=（

10

）²②，
把①代入②得：
x=4，
即AD=4；

（2）∵PE∥AB，
∴

DE

DA

=

DP

BD

，
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

4

=

5-t

5

，
解得：t=

20

9

，
∴當t=

20

9

時，PE∥AB；

（3）如圖2，過點E作EG⊥BD于點G，
∵∠A=∠EGD=90°，∠EDG=∠BDA，
∴Rt△ABD～Rt△GED，
∴

AB

BD

=

GE

DE

，
∵BD=5，AB=3，ED=t，
∴GE=

3

5

t，
∵PQ=5-2t，
∴y=

1

2

×（5-2t）×

3

5

t=-

3

5

t²+

3

2

t；

（4）連接PF，如圖2，在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴

DE=BP ∠EDP=∠PBF PD=BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴PE=PF．
故答案為：4．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定和勾股定理等知識，利用數形結合得出Rt△ABD～Rt△GED，進而表示出GE的長是解題關鍵．