Question

在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE為△ACD的角平分線(xiàn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EF交CD于點(diǎn)G
（1）如圖1，求證：BE=CG；
（2）如圖2，點(diǎn)M在A(yíng)C上，AM=AD，連接BM交CE于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G做GH⊥CE于點(diǎn)H，若△EGH的面積為l8，AD=3ED，求EN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根據(jù)ASA證出△BFE≌△GFC即可；
（2）過(guò)點(diǎn)E作ER⊥AC于點(diǎn)R，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求出ED=ER，求出AE=2ER，延長(zhǎng)ER至點(diǎn)S使ER=RS，得出△AES為等邊三角形，求出∠EAS=60°，求出∠EGH=∠GEH，推出EH=HG，根據(jù)△EGH的面積求出EH=GH=6，求出CG=12，證△BAM≌△CAD，推出∠ABM=∠ACD=60°，推出△EBN為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出EN=BE=12即可．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAP=∠PAC，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°，
∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90°，
∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠ECD，
∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90°
∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，
∴∠BCE=45°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=∠APC=90°，
∴EF∥AP，
∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=∠EFC=90°，
∵在△BFE和△GFC中

∠BEF=∠FCG EF=FC ∠EFB=∠CFG

∴△BFE≌△GFC（ASA），
∴BE=CG；

（2）過(guò)點(diǎn)E作ER⊥AC于點(diǎn)R
∵CE 平分∠DCA  CD⊥AB，ER⊥AC，
∴ED=ER，
∵AD=3ED，
∴AE=2ER，
延長(zhǎng)ER至點(diǎn)S使ER=RS，
∵ER⊥AC，
∴AE=AS，
∵AE=2ER=ES
∴△AES為等邊三角形
∴∠EAS=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠EAS=30°，
∵GH⊥EC，∠FEC=45°，
∴∠EGH=180°-90°-45°=45°
∴∠EGH=∠GEH，
∴EH=HG，
∵△EGH的面積為18，
∴

1

2

EH•GH=18，
∴EH=GH=6，
∵∠DCA=180°-∠ADC-∠BAC=60°，
∴∠DCE=30°，
∵GH=6，∠GHC=90°
∴CG=12
由（1）知BE=CG=12，
∵AM=AD，AB=AC，∠BAM=∠CAD
∴△BAM≌△CAD，
∴∠ABM=∠ACD=60°，
∵∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=60°
∴∠DEC=∠EBN，NE=NB，
∴△EBN為等邊三角形，
∴EN=BE=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．