Question

如圖，已知O是線段AB上一點，以OB為半徑作半圓O交AB于點C，以線段AO為直徑作弧OD交半圓O于點D，過點B作AB的垂線交AD的延長線于點E，若線段AO、OD的長是一元二次方程x²-3x+2=0的兩根．
（1）求證：AE是⊙O的切線； 
（2）求線段EB的長； 
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）欲證AE是切線，只需證AE⊥OD．根據直徑所對的圓周角是直角易證；
（2）根據切線長定理得BE=ED；根據勾股定理易求AD的長；設BE=x．在Rt△ABE中，根據勾股定理得方程求解；
（3）連接CD，做CM⊥AD，通過切割法，首先根據（1）（2）中所推出的結論求出∠AOD的度數，即可求出扇形ADO的面積，再求出△ACD的面積，即可推出陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵以線段AO為直徑作弧OD交圓O于點D，
∴∠ODA=90°，即AE⊥OD，
∴AE是⊙O的切線；

（2）解：∵x²-3x+2=0，
∴解方程：x₁=1，x₂=2，
∴OA=2，OD=1，
∴OC=OB=OD=1，
∴AB=3，
∵OD⊥AE，
∴AD=

3

，B=3，
∵BE⊥AC，BC為⊙O的直徑，
∴BE為⊙O的切線，
設EB=x，
∴EB=ED=x，
∵BE²+AB²=AE²，
∴x²+9=（x+3）²，
∴x=

3

，
∴EB=

3

；

（3）解：連接CD，做CM⊥AD，
∵OA=2，OD=1，OD⊥AE，
∴∠A=30°，OC=AC=1，
∴CM=

1

2

，∠OCD=60°，
∴S_△ACD=

AD×CM

2

=

3

4

，
∵A線段AO為直徑作弧OD交半圓O于點D，
∴S_扇形COD=

nπR2

360

=

60×π×12

360

=

π

6

，
∵S_陰影面積=S_△ACD+S_扇形COD，
∴S_陰影面積=

3

4

+

π

6

=

3 3 +2π

12

．

點評：本題主要考查切線的判定與性質、扇形的面積公式、解一元二次方程，關鍵在于認真的進行計算，熟練地運用相關的性質定理，運用切割法求陰影部分的面積．