Question

如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0），將此矩形沿著過E（-，1）、 F（-，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′。
（1）求折痕所在直線EF的解析式；
（2）一拋物線經過B、E、B′三點，求此二次函數解析式；
（3）能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最小？如能，求出點P的坐標；若不能，說明理由。

Answer 1

解：（1）設EF的解析式為y=kx+b，把E（-，1）、F（，0）的坐標代入  解得： 所以，直線EF的解析式為y=x+4； （2）設矩形沿直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′ ∵BE=3-=2； ∴B′E=BE=2 在Rt△AEB′中，根據勾股定理，求得： AB′=3， ∴B′的坐標為（0，-2） 設二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c， 把點B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）代入 解得： ∴二次函數的解析式為y=； （3）能，可以在直線EF上找到點P，連接C，交直線EF于點P， 連接BP，由于B′P=BP，此時，點P與C、B′在一條直線上， 所以，BP+PC=B′P+PC的和最小，由于BC為定長，所以滿足△PBC周長最小。 設直線B′C的解析式為：y=kx+b  所以，直線B′C的解析式為 又∵P為直線B′C和直線EF的交點， ∴解得： ∴點P的坐標為（，）。