Question

已知二次函數的圖象以A（-1，4）為頂點，且過點B（2，-5）．
（1）求該函數的關系式；
（2）求該函數圖象與坐標軸的交點坐標；
（3）將該函數圖象向右平移，當圖象經過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△OA′B′的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設函數關系式為y=a（x+1）²+4（a≠0），將點B坐標代入解析式，求出a的值即可求得函數關系式；
（2）分別令x=0，y=0，即可求得函數與y軸、x軸的交點坐標；
（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側，由此可求出當拋物線與x軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標．由于△OA′B′不規則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．
解答：解：（1）由頂點A（-1，4），可設函數關系式為y=a（x+1）²+4（a≠0），
將點B（2，-5）代入解析式得：-5=a（2+1）²+4，
解得：a=-1．
則二次函數的關系式為：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；

（2）令x=0，
得y=-（0+1）²+4=3，
故圖象與y軸交點坐標為（0，3）．
令y=0，
得0=-（x+1）²+4，
解得x₁=-3，x₂=1．
故圖象與x軸交點坐標為（-3，0）和（1，0）；

（3）設拋物線與x軸的交點為M、N（M在N的左側），
由（2）知：M（-3，0），N（1，0）
當函數圖象向右平移經過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位
故A'（2，4），B'（5，-5）
∴S_△OA′B′=×（2+5）×9-×2×4-×5×5=15．
點評：本題考查了用待定系數法求拋物線解析式、函數圖象交點、圖形面積的求法等知識．不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．