Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與坐標(biāo)軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點(diǎn)，D為頂點(diǎn)．
（1）D點(diǎn)坐標(biāo)為（

 

，

 

）．
（2）BC=

 

，BD=

 

，CD=

 

，并判斷△BCD的形狀．
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請寫出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)，并對其中一種情形說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用拋物線的頂點(diǎn)公式即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合題意，可知可得出B點(diǎn)、C點(diǎn)和點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可分別得出三個(gè)線段的長度，利用向量關(guān)系易得，BC⊥CD，即△BCD為直角三角形；
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，經(jīng)分析，有以下幾種情況：①連接AC，可知Rt△COA∽R(shí)t△BCD，②過A作AP₁⊥AC交y軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽R(shí)t△BCD；③過4C作CP₂⊥AC，交x軸于P₂
可知Rt△P₂CA∽R(shí)t△BCD；結(jié)合上述情況，分別可得出對應(yīng)的P的坐標(biāo)；

解答：解：（1）D（1，-4）（2分）

（2）結(jié)合題意，可得C（0，-3）；B（3，0）
BC=3

2

，BD=2

5

，CD=

2

，
且

CB

=（3，1），

CD

=（1，-3），
可知

CD

•

CD

=0，
即△BCD是直角三角形　　　　　　　　　　　　（6分）

（3）①連接AC，可知Rt△COA∽R(shí)t△BCD，符合條件的點(diǎn)為O（0，0）
②過A作AP₁⊥AC交y軸于P₁
可知Rt△CAP₁∽R(shí)t△BCD符合條件的點(diǎn)為P1(0，

1

3

)
③過C作CP₂⊥AC，交x軸于P₂
可知Rt△P₂CA∽R(shí)t△BCD，符合條件的點(diǎn)為P₂（9，0）
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線方程的頂點(diǎn)公式和相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性．