Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，現有兩點E、F，分別從點D、點A同時出發，點E沿線段DA以1個單位長度每秒的速度向點A運動，點F沿折線A-B-C以2個單位長度每秒的速度向點C運動．設點E離開點D的時間為t秒．
（1）t=時，求證：△AEF為等腰直角三角形；
（2）當t為何值時，線段EF與DC平行；
（3）當1≤t＜2時，設EF與AC相交于點M，連接DM并延長交AB于點N，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據運動的過程求得AE、AF的長即可作出判斷；
（2）線段EF與DC平行，則F一定在邊BC上，且DE=CF，即四邊形EFCD為矩形，利用t表示出DE和CF，即可得到一個關于t的方程，從而求得；
（3）易證△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
解答：解：（1）t=時，
DE=，AF=×2=，
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴∠DAB=90°，AE=2-=，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（2）四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴AD=BC=2，
當點F運動到邊BC上且AE=BF時，
則有DE=CF，
∴四邊形EFCD為矩形，
∴EF∥CD，
∵AE=2-t，BF=2t-2，
∴2-t=2t-2，
∴t=，
∴t=時線段EF與DC平行．

（3）由（2）知AE=2-t，
∵CF=4-2t，
∴==，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，
∴==，
∴==，
∴AN=AB，
∴=1．
點評：本題考查了正方形的性質、矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質的綜合應用，正確求得=2是關鍵．