Question

（2006•樂山）已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點C在以D（-2，-2）為圓心，4為半徑的圓上，且經過⊙D與x軸的兩個交點A、B，連接AC、BC、OC．
（1）求點C的坐標；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）在拋物線上是否存在點P，使DP所在直線平分線段OC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作CH⊥x軸，垂足為H，CH必經過圓心D，易得CH=6，則點C的坐標可以得到．
（2）連接OA，OC則陰影部分的面積S=S_扇形DAC-S_△DAC；
（3）設OC的中點是E，E點的坐標就可以求出，利用待定系數法就可以求出直線DE的解析式，直線與拋物線的交點就是所求的點P．
解答：解：（1）如圖，作CH⊥x軸，垂足為H，
∵直線CH為拋物線對稱軸，
∴CH垂直平分AB，
∴CH必經過圓心D（-2，-2）．
∵DC=4，
∴CH=6
∴C點的坐標為（-2，-6）．（3分）

（2）連接AD．
在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，
∴∠HAD=30°，AH=（4分）
∴∠ADC=120°
∴S_扇形DAC=π（5分）
S_△DAC=AH•CD=×2×4=4．（6分）
∴陰影部分的面積S=S_扇形DAC-S_△DAC=π-4．（7分）

（3）又∵AH=2，H點坐標為（-2，0），H為AB的中點，
∴A點坐標為（-2-2，0），B點坐標為（，0）．（8分）
又∵拋物線頂點C的坐標為（-2，-6），
設拋物線解析式為y=a（x+2）²-6．
∵B（，0）在拋物線上，
∴a（2-2+2）²-6=0，
解得．
∴拋物線的解析式為y=（x+2）²-6（9分）．
設OC的中點為E，過E作EF⊥x軸，垂足為F，連接DE，
∵CH⊥x軸，EF⊥x軸，
∴CH∥EF
∵E為OC的中點，
∴EF=CH=3，OF=OH=1．
即點E的坐標為（-1，-3）．
設直線DE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得k=-1，b=-4，
∴直線DE的解析式為y=-x-4．（10分）
若存在P點滿足已知條件，則P點必在直線DE和拋物線上．
設點P的坐標為（m，n），
∴n=-m-4，即點P坐標為（m，-m-4），
∴-m-4=（m+2）²-6，
解這個方程，得m₁=0，m₂=-6
∴點P的坐標為（0，-4）和（-6，2）．
故在拋物線上存在點P，使DP所在直線平分線段OC．（12分）
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及弓形面積的求法，轉化為扇形的面積與三角形的面積的差的問題．