Question

【題目】如圖，在ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，BE、DF分別交AC于點G、H，連接DG、BH．

（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

（2）四邊形GBHD是平行四邊形嗎？請說明理由；

（3）若GD＝CH，試判斷AC與GH之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）是，證明詳見解析；（3）AC＝3GH，理由詳見解析

【解析】

（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判斷；

（2）根據（1）中結論，可得AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，從而證明△ADH≌△CBG，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可；

（3）先證明△AEG∽△CBG，得出相似比，從而得到AC＝3AG及AH＝2CH，進而得出AC與GH的數量關系．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，DE∥BF，

∵E、F分別是AD、BC中點，

∴DE＝BF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形EBFD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，

∴∠DAH＝∠BCG，∠AHD＝∠CGB，

在△ADH與△CBG中，，

∴△ADH≌△CBG（AAS），

∴DH＝BG，

∵DH∥BG，

∴四邊形GBHD是平行四邊形；

（3）解：AC與GH之間的數量關系為：AC＝3GH，

理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是AD、BC的中點，

∴BC＝AD＝2AE，AE∥BC，

∴△AEG∽△CBG，

∴，

∴CG＝2AG，

∴AC＝3AG，即AG＝AC，

同理可得：AH＝2CH，

∴AC＝3CH，即CH＝AC，

∴GH＝AC，

即AC＝3GH．