Question

如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標系中，使OA，OC分別落在x軸y軸的正半軸上．連接AC，且AC=，tan∠OAC=，
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）求AC所在直線的函數解析式；
（3）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AC=4，tan∠OAC=，∠COA=90°，所以可求出OA=2OC，利用勾股定理可得AC²=OC²+OA²，由此即可求出OC=4，OA=8，進而求出A（8，0），C（0，4）；
（2）可設AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求出AC的解析式為y=-x+4；
（3）可設AC與EF交于點O，由折疊知EF垂直平分AC，所以O是矩形ABOC的中心，所以FO=OE，利用EF、AC互相垂直平分，可得重合部分AECF是菱形，進而可設CF=x，則AF=x，BF=8-x，因為AB=4，∠B=90°，利用勾股定理，可求出x=5，即CF=5，所以重合部分的面積=×5×4=10．
解答：解：（1）∵AC=4，tan∠OAC=，∠COA=90°，
∴，即OA=2OC，
∵AC²=OC²+OA²，
∴80=OC²+4OC²，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4）；

（2）設AC的解析式為y=kx+b，
則，
∴，
所以AC的解析式為y=-x+4；

（3）設：AC與EF交于點O，由折疊知EF垂直平分AC，所以O是矩形ABOC的中心，

∴FO=OE，
∴EF、AC互相垂直平分，
∴重合部分AECF是菱形，
設CF=x，則AF=x，BF=8-x，
因為AB=4，∠B=90°，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，即CF=5，
∴重合部分的面積=×5×4=10．
點評：本題需仔細分析題意，利用勾股定理、待定系數法即可解決問題．