Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10.
（1）求矩形ABCD的周長；
（2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊,使點D落在BC邊上點F處.
①求DE的長；
②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長.
（3）M是AD上的動點，在DC 上存在點N,使△MDN沿折痕MN折疊,點D落在BC邊上點T處, 求線段CT長度的最大值與最小值之和。
  

Answer 1

（1）36  
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
由折疊對稱性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=6. ∴FC=4.   
在Rt△ECF中，4²+（8-DE）²=EF²，解得DE=5.   
②分三種情形討論：
若AP=AF，∵AB⊥PF，∴PB=BF=6.   
若PF=AF，則PB+6=10，解得PB=4. 
若AP=PF，在Rt△APB中，AP²=PB²+AB²，解得PB=. 
綜合得PB=6或4或.
（3）當點N與C重合時，AT取最大值是8， 
當點M與A重合時， AT取最小值為4．     
所以線段AT長度的最大值與最小值之和為：12．

（1）因為矩形的兩組對邊相等，所以周長等于鄰邊之和的2倍；
（2）①四邊形ABCD是矩形，由折疊對稱的特點和勾股定理即可求出ED的長；
②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三種情形分別討論求出滿足題意的PB的值即可；
（4）由題意可知當點N與C重合時，AT取最大值是8，當點M與A重合時，AT取最小值為4，進而求出
線段CT長度的最大值與最小值之和．