Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點．若P為AB邊上的一個動點，PQ∥BC，且交AC于點Q，以PQ為一邊，在點A的異側作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．

（1）如圖，當AP＝3cm時，求y的值；

（2）設AP＝xcm，試用含x的代數式表示y（cm2）；

（3）當y＝2cm2時，試確定點P的位置．

Answer 1

【答案】（1）重合部分的面積應該是0.75cm2；（2）當0＜x≤，y＝0；當＜x≤4，y＝，當4＜x≤，y＝x；當＜x＜8，y＝16﹣2x；（3）當x＝7cm或x＝cm時，y＝2cm2．

【解析】

（1）先根據AP的長，求出PQ的值，然后看看正方形與矩形是否重合，若重合求出重合部分的線段的長，然后根據矩形的面積計算公式進行求解即可．

（2）要分四種情況進行討論：

①當N在D點或D點左側時，當正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時，利用相似三角形的性質可得出x＝，即0＜x≤時，此時正方形與矩形沒有重合，因此y＝0；

②當N在D點右側，而P點在D點左側或與D點重合時，即＜x≤4，此時正方形與矩形重合的面積應該是以DN為長，NM為寬的矩形，DN＝PN﹣PD＝PN﹣（AD﹣AP）＝x﹣（4﹣x）＝x﹣4．而NM＝PQ＝x，因此重合部分的面積應該是y＝（x﹣4）×x＝x2﹣2x；

③當P在D點右側，而N點在B點左側或與B點重合時，即4＜x≤時，此時正方形重合部分的面積應該是以正方形邊長為長，DE為寬的矩形的面積，PN＝x，DE＝2，因此此時重合部分的面積是y＝x×2＝x；

④當P在B左側時，而N點在AB延長線上時，即＜x＜8時，此時重合部分的面積應該是以DE長為寬，PA長為長的矩形的面積．BP＝AB﹣AP＝8﹣x，BF＝DE＝2，因此此時重合部分的面積應該是y＝（8﹣x）×2＝16﹣2x．

（3）將y＝2代入（2）的式子中，看看求出的x哪個符合條件即可．

（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，

∴tanA＝＝，

∵D是AB中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴AD＝BD＝4cm，DE＝2cm，

∴Rt△APQ中，AP＝3cm，

∴PQ＝APtanA＝3×＝1.5cm，

∴DN＝AN﹣AD＝AP+PN﹣AD＝3+1.5﹣4＝0.5，

∴重合部分的面積應該是y＝DN×MN＝1.5×0.5＝0.75cm2；

（2）當0＜x≤，y＝0；

當＜x≤4，y＝，

當4＜x≤，y＝x；

當＜x＜8，y＝16﹣2x；

（3）當＜x≤4時，如果y＝2，2＝，解得x＝或x＝（舍去）；

當4＜x≤時，如果y＝2，x＝2，也不符合題意，

當＜x＜8時，如果y＝2，2＝16﹣2x，解得x＝7，因此當AP＝7cm時，y＝2cm2．

∴當x＝7cm或x＝cm時，y＝2cm2．