Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），點B的坐標（-2，0），點O為原點．
（1）求過點A，O，B的拋物線解析式；
（2）在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點C的坐標；
（3）將原點O繞點B逆時針旋轉120°后得點O′，判斷點O′是否在拋物線上，請說明理由；
（4）在x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點E，線段OE把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOE面積比為2：3，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線經過點A，O，B，運用待定系數法就可以直接求出拋物線的解析式；
（2）過點A作x軸的垂線與x軸的交點是C，作CA⊥AB于A，交x軸于點C，這就是滿足條件的C，利用解直接三角形就可以求出C點的坐標；
（3）由旋轉的旋轉，求出O′的坐標，然后代入拋物線的解析式就可以判斷該點是否在拋物線上；
（4）由A、B的坐標可以求出直線AB的解析式，設出點P的坐標，就可以表示出E的坐標，利用面積之比建立等量關系根據兩種不同的情況就可以求出P的解析式．
解答：解：（1）設y=ax²+bx+c，根據題意得
，
解得，
所以y=x²+x．

（2）C（1，0）或C（2，0）

（3）由題意得O′（-3，），將O′（-3，）代入y=x²+x，左邊=右邊
∴點O′在函數圖象上．

（4）點P坐標為（-，-）．
∵A的坐標為（1，），點B的坐標（-2，0），設直線AB的解析式為y=kx+b，則有

解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+
假設存在這樣的點P，它的橫坐標為h，則點P坐標為（h，h²+h），
點E坐標為（h，h+），分兩種情況：
①△OBE的面積：四邊形BPOE面積=2：3，
則[×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（-h²-h）]=2：3，
解得h=-，此時點P坐標為（-，-）；
②△AOE的面積：四邊形BPOE面積=2：3，
則[-×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（-h²-h）]=2：3，
解得：h=-，或h=-2（不合題意，舍去），
此時點P坐標為（-，-）．
綜上所述：點P坐標為（-，-）．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，三角形的面積，勾股定理的逆定理的運用．