Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，對角線AC⊥BD，垂足為E，AD=BD，過點E作EF∥AB交AD于F，
求證：（1）AF=BE；
（2）AF²=AE•EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行構造相似三角形，利用相似三角形的性質解答；
（2）因為AB⊥BC，所以△ABC為直角三角形，又因為AC⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性質即可解答．
解答：證明：（1）∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB．
∴=．
又∵DA=DB，
∴DF=DE．
∴DA-DF=DB-DE，即AF=BE．

（2）∵AB⊥BC，
∴△ABC為直角三角形．
又∵AC⊥BD，
∴△BCE∽△ABE．
∴=，即EB²=AE•EC．
又∵AF=EB，
∴AF²=AE•EC．
點評：解答此題的關鍵是根據平行和直角三角形的性質找出圖中的相似三角形，利用相似三角形的性質解答此題．要知道，EB²=AE•EC屬于射影定理．