Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°．
（1）計算S_△AOB；
（2）⊙O上一動點P從A點出發，沿逆時針方向運動，當S_△POA=S_△AOB時，求P點所經過的弧長（不考慮點P與點B重合的情形）

Answer 1

分析：（1）過點O作OD⊥AB于點D，由于OA=OB，∠AOB=120°，故∠AOD=60°，由直角三角形的性質可知∠OAD=30°，故OD=

1

2

OA=1cm，AD=OA•cos30°=

3

，故AB=2

3

，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（2）過O點作OC⊥AB于C，由OA=2cm，∠AOB=120°，可計算出S_△AOB，而S_△POA=S_△AOB，得到P點到OA的距離，得到OA與OP的夾角，再利用弧長公式即可計算出P點所經過的弧長．

解答：解：（1）如圖1，過點O作OD⊥AB于點D，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA=1cm，
∴AD=OA•cos30°=

3

，AB=2AD=2

3

，
∴S_△AOB=

1

2

AB•OD=

1

2

×2

3

×1=

3

；

（2）如圖2，
∵S_△POA=S_△AOB=

3

，OA=2，
∴P點到OA的距離為

3

，
∵OP=2，
∴∠AOP=60°或120°或300°，

點P所經過的弧長為

60•π•2

180

=

2π

3

或

120•π•2

180

=

4π

3

或4π-

2π

3

=

10π

3

．
故答案為：

2π

3

或

4π

3

或

10π

3

．

點評：本題考查的是垂徑定理及弧長的計算公式，熟記弧長公式是解答此題的關鍵．