Question

附加題：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，⊙A的半徑為1，如圖所示．若點O在BC上運動（與點B、C不重合），設BO=x，△AOC的面積為y．
（1）求關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（2）以點O為圓心，BO長為半徑作⊙O，求當⊙O與⊙A相外切時，△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥BC．根據y=S_△ABC-S_△ABO，建立y與x的函數關系式；
（2）作AD⊥BC．根據兩圓外切的定義，AO=2+x，應用勾股定理建立關于x的方程，求出x的值，進而可得△AOC的面積．

解答：解：（1）作AD⊥BC．
∵∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，
∴AD=2

2

sin45°=2．
∴y=S_△ABC-S_△ABO=

1

2

×2

2

×2

2

-

1

2

×2x=4-x（0＜x＜4）；

（2）當⊙O與⊙A相外切時，
在等腰Rt△ABC中，AD=2，BD=2，則OD=2-x．
在Rt△AOD中，（x+1）²=2²+（2-x）²，解得x=

7

6

，
則△AOC的面積為

1

2

OC•AD=

1

2

×（OD+DC）×AD=

1

2

×（2+2-

7

6

）×2=

17

6

．

點評：此題結合圓的相關概念，考查了利用面積關系建立函數關系式的能力．此類題目主要運用了轉化思想和數形結合思想．