Question

在平面直角坐標系中，動點P到點S（1，

11

4

），與過T點（0，

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4

）且平行于x軸的直線距離相等，設點P的坐標為（x，y）
（1）試求出y與x函數關系式；
（2）設點P運動到x軸上時為點A、B（點A在點B的左邊），運動到最高點為點C；運動到y軸上時為點D；求出A、B、C、D四點的坐標；
（3）在（2）的條件下，M為線段OB（點O為坐標原點）上的一個動點，過x軸上一點G（-2，0）作DM的垂線，垂足為H，直線GH交y軸于點N，當M點在線段OB上運動時，現給出兩個結論：①∠GNM=∠CDM；②∠MGN=∠DCM，其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪個結論正確，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，再利用勾股定理建立關系式即得問題答案．
（2）由圖形可知點P運動到x軸上時為點A（-1-

3

，0），B（-1+

3

，0）運動到最高點為點C（1，3）；運動到y軸上時為D（0，2）．
（3）①的結論是正確的；由于OG=OD=2，且GH⊥DM，則可證得△NGO≌△MDO，由此可得∠GNO=∠DMO；而ON=OM（全等三角形的對應邊），故∠ONM=45；過D作DT⊥CP于T，根據C、D的坐標可知CT=DT=1，即∠CDT=45°，而∠TDM、∠DMO是平行線DT、AB的內錯角，故∠TDM=∠DMO=∠GNO，因此∠TDM、∠GNO都加上45°后仍然相等，即∠GNM=∠CDM．

解答：解：（1）過點S作SD⊥ox，并反向延長SD交過T點的直線于B點，過點P作PA⊥AT，PC⊥BS．
∴CS=y-

11

4

，CP=x-1，AP=

.

y- 13 4

.

．
∴在Rt△SCP中SP=

(x-1)  2+ (y- 11 4

) 2．
又∵SP=AP

.

y- 13 4

.

=

(x-1)  2+ (y- 11 4

) 2，
∴y=-x²+2x+2；

（2）令y=0得0=-x²+2x+2．
解得x₁=（-1-

3

，x₂=（-1+

3

）．
∴A（-1-

3

，0）B（-1+

3

，0）．
把y=-x²+2x+2配方得：y=-（x-1）²+3，
∴C點的坐標為（1，3），
令x=0，y=2，
∴D點的坐標為D（0，2）．
∴A（1-

3

，0），B（1+

3

，0），C（1，3），D（0，2）；

（3）∠GNM=∠CDM是正確的．
證明：∵過A、B、C的拋物線解析式為y=-x²+2x+2；
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由題意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
過點D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由題意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．

點評：此題考查了勾股定理，函數解析式的確定、全等三角形及等腰直角三角形的判定和性質等知識，綜合性強，難度較大．