Question

【題目】已知：點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)．

（1）在OA上求作點(diǎn)D，在OB上求作點(diǎn)E，使△CDE的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出圖形；（不寫(xiě)做法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△CDE周長(zhǎng)的最小值為10．

【解析】

（1）分別作C點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N，然后連接MN分別交OA、OB于D、E，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可判斷此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小；

（2）利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到OM=OC=10，∠MOA=∠COA，ON=OC=10，∠NOB=∠COB，則△DCE的周長(zhǎng)為MN，再證明△OMN為等邊三角形，從而得到MN=OM=10，所以△CDE周長(zhǎng)的最小值為10．

（1）如圖，△CDE為所作；

（2）∵點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，

∴OM=OC=10，∠MOA=∠COA，DM=DC．

∵點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，

∴ON=OC=10，∠NOB=∠COB，EC=EN，

∴△DCE的周長(zhǎng)為CD+CE+DE=DM+DE+EN=MN，

∴此時(shí)△DCE的周長(zhǎng)最小．

∵∠MOA+∠NOB=∠COA+∠COB=∠AOB=30°，

∴∠MON=30°+30°=60°，

∴△OMN為等邊三角形，

∴MN=OM=10，

∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為10．