Question

如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長，交AD的延長線于F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=CM•CF；
（3）過點D作DG∥BE交EF于點G，過G作GH∥DE交DF于點H，則易知△DHG是等邊三角形；設等邊△ABC、△BDE、△DHG的面積分別為S₁、S₂、S₃，試探究S₁、S₂、S₃之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OB，只要證明∠OBE=90°即可求解；
（2）連接MB，易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據相似三角形對應邊的比相等即可得證；
（3）作出DG與GH，易證AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根據平行線分線段成比例定理即可得證．

解答：（1）證明：連接OB，由題意得，
∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°∠CBE=60°
則∠OBE=90°
∴BE是⊙O的切線（3分）

（2）證明：連接MB，則∠CMB=120°（4分）
∵∠CBF=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCF=∠BCM
∴△CMB∽△CBF（5分）
∴

CM

CB

=

CB

CF

即CB²=CM•CF
∵AC=CB
∴AC²=CM•CF（6分）

（3）解：根據題意，作出DG與GH（7分）
由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG
∴

AB

BD

=

CE

EG

=

BD

DH

∵

S1

S2

=（

AB

BD

）²

S2

S3

=（

BD

DH

）²
∴

S1

S2

=

S2

S3

即S₂²=S₁•S₃
∴所求的數量關系是S₂²=S₁•S₃（9分）

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．