Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數y=（x＞0）圖象上的任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B．
（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由P在⊙O上，而∠AOB=90°，根據圓周角定義的推論得AB是⊙P的直徑，即可得到點P在線段AB上；
（2）過點P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，設P（a，b），由P點為圓心可得PP₁、PP₂是△AOB的中位線，則S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×2PP₂=2ab，再根據P點在反比例函數y=（x＞0）圖象上的點得到ab=6，把ab=6代入即可得到△AOB的面積．
解答：解：（1）點P在線段AB上．理由如下：
∵PO為半徑，
∴點O在⊙P上，
而∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直徑，
∴點P在線段AB上；

（2）過點P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，設P（a，b），如圖，
由題意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位線，
∴S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×2PP₂=2ab，
∵P是反比例函數y=（x＞0）圖象上的任意一點，
∴ab=6，
∴S_△AOB=2×6=12．
點評：本題考查了反比例函數y=（k≠0）圖象上點的坐標特點：所有點的橫縱坐標之積等于k．也考查了圓周角定理的推論以及三角形的面積公式．