Question

如圖，將一張矩形紙ABCD按圖示折疊：

（1）求證：四邊形EFGB是平行四邊形；
（2）若BC=11cm，AB=4cm，要使四邊形EFGB為菱形，則剪去的△ABE的邊AE應為多長？

Answer 1

（1）證明：由折疊知：△ABE≌△DCF，
∴BE=CF．
∵EF∥BC，且EF＜BC，
∴四邊形BEFC為等腰梯形．
∴∠EBC=∠FCH．
∵∠FCH=∠FGC，
∴∠EBC=∠FGC．
∴EB∥FG．
又∵EF∥BG，
∴四邊形EFGB是平行四邊形．

（2）解：設AE=x，則DF=CH=GH=x，
∵四邊形EFGB為菱形，
∴BE=EF=11-2x．
在Rt△ABE中，有4²+x²=（11-2x）²
化簡得：3x²-44X+105=0．
解之得：x₁=3，x₂=＞11（舍去），
∴剪去的△ABE的邊AE的長應為3cm．
分析：（1）由一組對邊平行另一組對邊相等可得到剪去后得到的四邊形是等腰梯形．再次折疊后得到新四邊形的另一組對邊也平行，即可得證；
（2）綜合利用勾股定理和鄰邊相等求解．
點評：本題用到的知識點為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
需注意折疊過程中得到的特殊四邊形和特殊三角形的運用．