Question

某環保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產品，已知每件產品的進價為40元，經銷過程中測出銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）存在如圖所示的一次函數關系，每年銷售該種產品的總開支z（萬元）（不含進價）與年銷量y（萬件）存在函數關系z=10y+42.5．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）寫出該公司銷售該種產品年獲利w（萬元）關于銷售單價x（元）的函數關系式；（年獲利=年銷售總金額一年銷售產品的總進價一年總開支金額）當銷售單價x為何值時，年獲利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望該產品一年的銷售獲利不低于57.5萬元，請你利用（2）小題中的函數圖象幫助該公司確定這種產品的銷售單價的范圍．在此條件下要使產品的銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖象可知y關于x的函數關系式是一次函數，設y=kx+b，用“兩點法”可求解析式；
（2）根據年獲利=年銷售總金額一年銷售產品的總進價一年總開支金額，列出函數關系式；
（3）求出年銷售獲利等于57.5萬元時，銷售單價x的值，從而確定銷售單價x的范圍，及二次函數w最大時，x的值．
解答：解：（1）由題意，設y=kx+b，圖象過點（70，5），（90，3），
∴
解得
∴y=-x+12．

（2）由題意，得
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（x+12）（x-40）-10（x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5=（x-85）²+80．
當85元時，年獲利的最大值為80萬元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5．
整理，得x²-170x+7000=0．
解得x₁=70，x₂=100．
由圖象可知，要使年獲利不低于57.5萬元，銷售單價應在70元到100元之間．
又因為銷售單價越低，銷售量越大，
所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于57.5萬元，銷售單價應定為70元．
點評：本題考查點的坐標的求法及一次函數、二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．