Question

如圖9，ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，弦ＣＤ⊥ＡＢ于點Ｅ．

（１）當ＡＢ＝１０，ＣＤ＝６時，求ＯＥ的長；

（２）∠ＯＣＤ的平分線交⊙Ｏ于點Ｐ，當點Ｃ在上半圓（不包括Ａ、Ｂ點）上移動時，對于點Ｐ，下面三個結論：

①到ＣＤ的距離保持不變；②平分下半圓；③等分．其中正確的為　　　　　，請予以證明．

Answer 1

解（１）∵直徑ＡＢ⊥弦ＣＤ，

∴ＡＢ平分弦ＣＤ，即ＣＥ＝ＣＤ＝３．………………………………２分

在Ｒt△ＯＣＥ中，由勾股定理，

得ＯＥ＝＝＝４；…………………………………４分

（２）　②　，………………………………………………………………６分

證明：連結ＯＰ（如圖２）．………………………………………………７分

∵ＯＣ＝ＯＰ，∴∠２＝∠３，……………………………………………８分

又∵∠１＝∠２，

∴∠１＝∠３，

∴ＣＤ∥ＯＰ．………………………………………………………………９分

∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＯＰ⊥ＡＢ，…………………………………………１０分

∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ＝９０°，∴＝，……………………１２分

即點Ｐ平分下半圓．