Question

（2005•山西）下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長(zhǎng)后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開圖形是扇形OAB．經(jīng)測(cè)量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)EF=8cm．求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積．（面積計(jì)算結(jié)果用π表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)∠AOB=n°，AO=R，則CO=R-8，利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)作為相等關(guān)系列方程，并聯(lián)立成方程組求解即可；
（2）求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S_{紙杯側(cè)面積}+S_{紙杯底面積}．
解答：解：由題意可知：=6π，=4π，設(shè)∠AOB=n，AO=R，則CO=R-8，
由弧長(zhǎng)公式得：=4π，
∴，
解得：n=45°，R=24cm，
故扇形OAB的圓心角是45度．
∵R=24cm，R-8=16cm，
∴S_扇形OCD=×4π×16=32πcm²，
S_扇形OAB=×6π×24=72πcm²，
紙杯側(cè)面積=S_扇形OAB-S_扇形OCD=72π-32π=40πcm²，
紙杯底面積=π•2²=4πcm²，
紙杯表面積=40π+4π=44πcm²．
點(diǎn)評(píng)：主要考查圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長(zhǎng)之間的關(guān)系和扇環(huán)的面積的求法．
本題中（1）就是把的扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)作為相等關(guān)系，列方程求解；
（2）扇環(huán)的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積．