Question

若x₁，x₂是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x₁，x₂和系數a，b，c有如下關系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=，把它們稱為一元二次方程根與系數關系定理，請利用此定理解答一下問題：
已知x₁，x₂是一員二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個實數根．
（1）是否存在實數m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，請你說明理由；
（2）若|x₁-x₂|=，求m的值和此時方程的兩根．

Answer 1

解：（1）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個實數根，
∴m-3≠0且△=4m²-4（m-3）•m≥0，
∴m的取值范圍為m≥0且m≠3，
根據根與系數的關系得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴=4-，
∴m=12；

（2）∵|x₁-x₂|=，
∴（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴（-）²-4×=3，解得m₁=1，m₂=9，
當m=1時，原方程變形為2x²-2x-1=0，解得x₁=，x₂=；
當m=9時，原方程變形為2x²+6x+3=0，解得x₁=，x₂=．
分析：（1）先根據根的判別式得到m的取值范圍為m≥0且m≠3，再根據根與系數的關系得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，然后利用-x₁+x₁x₂=4+x₂得=4-，再解關于m的方程即可；
（2）先利用完全平方公式變形得到（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，再把x₁+x₂=-，x₁•x₂=代入得到（-）²-4×=3，解得m₁=1，m₂=9，
然后分別把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．