Question

如圖，拋物線y=ax²-bx-2交x軸于A（-1，0）、B（4，0），交y軸于點C；
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是線段AB上一點，過D點作DE∥AC交拋物線于M，交y軸于N，若CM=AN，求D點坐標；
（3）將拋物線沿x軸的正方向平移，交原拋物線于點P，點Q在x軸上，問是否存在點Q使△CPQ是以PC為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求拋物線的解析式即可．
（2）直線DE與拋物線的交點有兩個，通過觀察圖可看出，點M在y軸右側時，一定不符合CM=AN的條件，所以只考慮點M在y軸右側的情況：
①當點N在y軸上方時，MN∥AC，且AN=CM，顯然四邊形ACMN是等腰梯形，那么∠CAM=∠ACN，可過AM與y軸的交點作線段AC的垂線，在構建的兩個小直角三角形中求出這個交點的坐標，進而能求出直線AM的解析式，聯立拋物線解析式即可得到點M的坐標，而直線MN與直線AC平行，那么它們的斜率相同，可根據這個條件先設出直線MN的解析式，代入點M的坐標后，進一步能求出點D的坐標；
②當點N在y軸下方時，顯然四邊形ACMN是平行四邊形，那么點A、M的橫坐標互為相反數（由于CN在y軸上，而A、M關于CN的中點對稱），可先將點M的橫坐標代入拋物線解析式中確定點M的坐標，然后按①的思路求出點D的坐標．
（3）由于拋物線向x軸正方形平移，那么點P必在y軸右側，若△CPQ是以CP為斜邊的等腰直角三角形，那么點Q必須在x軸正半軸上，然后分兩種情況討論：
①點Q在點C、P之間時；②點Q在點P的右側時；
解題思路相同，先設出點Q的坐標，過點P作x軸的垂線，通過構建的全等三角形（這里要用到等腰直角三角形的頂角為90°以及腰相等這兩個條件），先表示出點P的坐標（用點Q的橫坐標來表示），代入拋物線解析式后，即可確定點Q的坐標．
解答：解：（1）依題意，有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-x-2．

（2）由（1）的拋物線知：A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，AC==；
直線AC：y=-2x-2．
通過圖示可看出，當點M位于y軸右側時，CM＞AN，所以點M必在y軸右側；
①當點N在x軸上方時，如圖①；
此時，四邊形ACMN是等腰梯形，則有：
∠MAC=∠NCA，tan∠MAC=tan∠NCA=；
過點F作FG⊥AC于G，設FG=x，有：AG=GC=2x，AF=CF=x；
∵AC=AG+GC=4x=，x=，FC=x=，
∴OF=OC-FC=2-=，F（0，-）；
∴直線AF：y=-x-，聯立拋物線的解析式有：
，解得（舍）、
∴M（，-）
由于直線MN∥AC，設直線MN：y=-2x+h，則有：
-5+h=-，h=
∴直線MN：y=-2x+，則D（，0）；
②當點N在x軸下方時，如圖②，此時四邊形ACMN是平行四邊形；
∵點A、M關于CN的中點對稱，∴點M的橫坐標為 1，則M（1，-3）；
同①可求得直線MN：y=-2x-1，得 D（-，0）；
綜上，點D的坐標為（，0）或（-，0）．

（3）由題意知：點P、Q都在y軸的右側，可設Q（x，0）（x＞0），過點P作PH⊥x軸于點H；
分兩種情況討論：
①點Q在點C、P之間，如圖①；
∵△CPQ是等腰直角三角形，且CP是底邊，
∴∠CQP=90°，CQ=QP；
∵
∴△CQO≌△QPH，則：PH=OQ=x，QH=OC=2，OH=OQ+QH=x+2
∴點P可表示為（x+2，-x），代入拋物線解析式有：
-x=（x+2）²-（x+2）-2，解得 x=（負值舍去）
∴Q₁（，0）；
②點Q在點P右側時，如圖②；
同①可證得：△OCQ≌△HQP，∴HQ=CO=2，PH=OQ=x，OH=OQ-HQ=x-2，則 P（x-2，x）；
代入拋物線解析式，有：
x=（x-2）²-（x-2）-2，解得 x₁=、x₂=（舍，因為此時點P在y軸右側）
∴Q₂（，0）；
綜上，存在符合條件的點Q，且坐標為（，0）、（，0）．
點評：此題主要考查了利用待定系數法確定函數解析式、特殊四邊形的判定和性質、相似三角形與全等三角形的應用等重點知識；這道題的思路和解答過程相等復雜，需要輔以圖形來解答題目，在作圖時，可以將與所做小題無關的圖形去掉，這樣可以更直觀的看出線段、圖形間的位置、數量關系．另外，后兩題涉及的情況較多，一定要注意分類討論．