Question

一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動(dòng)一個(gè)半徑為10cm的圓盤(pán)，如圖所示，AB與CD是平行的，且水平，BC與水平面的夾角為60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，請(qǐng)你作出該小朋友將圓盤(pán)從A點(diǎn)滾動(dòng)到D點(diǎn)其圓心所經(jīng)過(guò)的路線的示意圖，并求出此路線的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）以圓心為軌跡找路線，一一畫(huà)出．
（2）根據(jù)此軌跡求線段，求弧長(zhǎng)最后相加．

解答：解：如下圖，畫(huà)出圓盤(pán)滾動(dòng)過(guò)程中圓心移動(dòng)路線的分解圖象．
可以得出圓盤(pán)滾動(dòng)過(guò)程中圓心走過(guò)的路線由線段OO₁，線段O₁O₂，圓弧

O2O3

₃，線段O₃O₄四部分構(gòu)成．
其中O₁E⊥AB，O₁F⊥BC，O₂C⊥BC，O₃C⊥CD，O₄D⊥CD．
∵BC與AB延長(zhǎng)線的夾角為60°，O₁是圓盤(pán)在AB上滾動(dòng)到與BC相切時(shí)的圓心位置，
∴此時(shí)⊙O₁與AB和BC都相切．
則∠O₁BE=∠O₁BF=60度．
此時(shí)Rt△O₁BE和Rt△O₁BF全等，
在Rt△O₁BE中，BE=

10 3

3

cm．
∴OO₁=AB-BE=（60-

10 3

3

）cm．
∵BF=BE=

10 3

3

cm，
∴O₁O₂=BC-BF=（40-

10 3

3

）cm．
∵AB∥CD，BC與水平夾角為60°，∴∠BCD=120度．
又∵∠O₂CB=∠O₃CD=90°，
∴∠O₂CO₃=60度．
則圓盤(pán)在C點(diǎn)處滾動(dòng)，其圓心所經(jīng)過(guò)的路線為圓心角為60°且半徑為10cm的圓弧

O2O3

．
∴

O2O3

的長(zhǎng)=

60

360

×2π×10=

10

3

πcm．
∵四邊形O₃O₄DC是矩形，
∴O₃O₄=CD=40cm．
綜上所述，圓盤(pán)從A點(diǎn)滾動(dòng)到D點(diǎn)，其圓心經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度是
（60-

10 3

3

）+（40-

10 3

3

）+

10

3

π+40=（140-

20 3

3

+

10

3

π）cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了弧長(zhǎng)公式，但本題的難點(diǎn)在畫(huà)軌跡圖，注意畫(huà)此題時(shí)要根據(jù)圓心來(lái)畫(huà)．