Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過點B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是

AB

上一點，且

BG

=

1

3

AB

，連接AG交PD于F，連接BF，若PD=6

3

，tan∠BFE=3

3

．
求：（1）∠C的度數；
（2）△AEF和△ABG的面積；
（3）QH的長．

Answer 1

分析：（1）連接OP，求出∠OPC=90°，∠BAF=30°，設EF=x，則AE=

3

，BE=3

3

x，AB=4

3

x，OB=2

3

x，OE=

3

x，根據cos∠POA=

OE

OP

=

1

2

，求出∠POA=60°即可；
（2）由垂徑定理得出PE=

1

2

PD=3

3

，在△CPE中，由勾股定理求出x=

3

，求出AE=

3

x=3，EF=

3

，根據三角形的面積公式求出即可；根據AB=4

3

x=12，求出∠BAG=30°，推出BG=6，由勾股定理求出AG=6

3

，根據三角形的面積公式求出即可；
（3）由勾股定理求出CP=6

3

，由切割線定理得出PC²=AC×BC，求出AC=6，BC=18，根據∠C=30°，∠Q=90°求出BQ=

1

2

BC=9，由勾股定理求出CQ=9

3

，PQ=3

3

，由切割線定理得出PQ²=QH×BQ，代入求出即可．

解答：（1）解：連接OP，
∵CP切⊙O于P，
∴∠OPC=90°，
∵

BG

=

1

3

AB

，
∴∠BAF=30°，
設EF=x，則AE=

3

x，
∵tan∠BFE=3

3

，
∴BE=3

3

x，
AB=4

3

x，OB=2

3

x，OE=

3

x，
∴cos∠POA=

OE

OP

=

1

2

，
∴∠POA=60°，
∴∠C=90°-60°=30°；

（2）解：由垂徑定理得：PE=

1

2

PD=3

3

，
∵在△OPE中，由勾股定理得：OP²=OE²+PE²，
∴(2

3

x)2=(

3

x)2+(3

3

)2，
x=

3

，
∴AE=

3

x=3，EF=

3

，
∴S_△AEF=

1

2

×AE×EF=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

，
∵AB=4

3

x=12，
∴∠BAG=30°，
∴BG=6，
由勾股定理的：AG=6

3

，
∴S_△ABG=

1

2

×AG×BG=

1

2

×6

3

×6=18

3

；

（3）解：∵由（2）知：OE=

3

x=3，OP=2

3

x=6，AB=12，∠C=30°，
∴OC=12，
由勾股定理得：CP=6

3

，
∵CP是切線，CAB是割線，由切割線定理得：PC²=AC×BC，
∴(6

3

)2=AC×（AC+12），
AC=6，
∴BC=18，
∵∠C=30°，∠Q=90°，
∴BQ=

1

2

BC=9，
∴由勾股定理得：CQ=9

3

，
∴PQ=3

3

，
∵由切割線定理得：PQ²=QH×BQ，
(3

3

)2=9QH，
∴QH=3．
答：QH的長是3．

點評：本題考查了切線的性質，切割線定理，勾股定理，三角形的面積，含30度角的直角三角形等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．