Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，CD⊥AD于D且AC平分∠DAB，連接OC，那么DC是⊙O的切線嗎？為什么？

Answer 1

分析：DC為圓O的切線，理由為：由AC為角平分線得到一對角相等，再由半徑OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠DAC=∠OCA，由CD垂直于AD，得到∠ADC為直角，根據直角三角形的兩銳角互余得到一對角互余，等量代換可得出∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD為直角，可得出OC與CD垂直，則CD為圓O的切線，得證．

解答：解：DC是圓O的切線，理由為：
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
又∵CD⊥AD，即∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
則CD是圓O的切線．

點評：此題考查了切線的判定，利用了轉化及等量代換的思想，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．