Question

在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=6．過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E．
（1）點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q．求證：BP=DQ．
（2）求△BDE的周長．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的對邊平行可得AD∥BC，對角線互相平分可得OB=OD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠OBC=∠DOA，然后利用“角邊角”證明△OBP和△ODQ全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）根據菱形點的對角線互相平分求出OA，再利用勾股定理求出OB，從而得到BD的長，然后求出四邊形ACED是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等求出CE=AD，DE=AC，再根據三角形的周長列式計算即可得解．

解答：（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OB=OD，
∴∠OBC=∠DOA，
∵在△OBP和△ODQ中，

∠OBC=∠DOA OB=OD ∠BOP=∠DOQ

，
∴△OBP≌△ODQ（ASA），
∴BP=DQ；

（2）解：在菱形ABCD中，∵AB=5，AC=6，
∴OA=

1

2

AC=

1

2

6=3，
根據勾股定理，OB=

AB2-OA2

=

52-32

=4，
∴BD=2OB=2×4=8，
又∵DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC=6，CE=AD=5，
∴△BDE的周長=BD+DE+BE=8+5+5+5=23．

點評：本題考查了菱形的性質，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質，菱形的對邊相等，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，熟記各性質是解題的關鍵．