Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點，圓心A的坐標為（1，0），⊙A的半徑為，過點C作⊙A的切線交x軸于點B（-4，0）．

（1）求切線BC的解析式；
（2）若點P是第一象限內⊙A上的一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP=120°，求點G的坐標；
（3）向左移動⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，由于BC與⊙A相切，則AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據射影定理即可求得OC的長，從而得到C點的坐標，進而用待定系數法求出直線BC的解析式．
（2）可設出G點的坐標（設橫坐標，利用直線BC的解析式表示縱坐標），連接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切線，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的長易求得，根據∠AGC的度數，即可求得AG的長；過G作GH⊥x軸于H，在Rt△GAH中，可根據G點的坐標表示出AH、GH的長，進而由勾股定理求得G點的坐標．
（3）若⊙A與直線交于點E、F，則AE=AF，如果△AEF是直角三角形，則∠EAF必為直角，那么△EAF是以A為頂點的等腰直角三角形，因此可分作兩種情況考慮：
①點A在B點右側時，可過A作直線BC的垂線，設垂足為M，在（2）題已經求得了⊙A的半徑，即可得到AM的長，易證得△BAM∽△BCO，通過相似三角形所得比例線段即可求得AB的長，進而可得到OA的長，從而得出A點的坐標；
②點A在B點左側時，方法同①．
解答：解：（1）如圖1所示，連接AC，則AC=，
在Rt△AOC中，AC=，OA=1，則OC=2，
∴點C的坐標為（0，2）；
設切線BC的解析式為y=kx+b，它過點C（0，2），B（-4，0），
則有，解之得；
∴．（4分）

（2）如圖1所示，設點G的坐標為（a，c），過點G作GH⊥x軸，垂足為H點，
則OH=a，GH=c=a+2，（5分）
連接AP，AG；
因為AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），
所以∠AGC=×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，
∴sin60°=，∴AG=；（6分）
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=a+2，
∵AH²+GH²=AG²，
∴（a-1）²+=，
解之得：a₁=，a₂=-（舍去）；（7分）
∴點G的坐標為（，+2）．（8分）

（3）如圖2所示，在移動過程中，存在點A，使△AEF為直角三角形．（9分）
要使△AEF為直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
當圓心A在點B的右側時，過點A作AM⊥BC，垂足為點M，
在Rt△AEF中，AE=AF=，
則EF=，AM=EF=；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，則BC=2，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，
∴△BOC∽△BMA，
∴=，
∴AB=，
∴OA=OB-AB=4-，
∴點A的坐標為（-4+，0）；（11分）
當圓心A在點B的左側時，設圓心為A′，過點A′作A′M′⊥BC于點M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=，
∴OA′=OB+A′B=4+，
∴點A′的坐標為（-4-，0）；
綜上所述，點A的坐標為（-4+，0）或（-4-，0）．（13分）
點評：此題考查的知識點有：一次函數解析式的確定、勾股定理、切線的性質、切線長定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質等；需要注意的是（3）題中，一定要考慮到點A在B點左側時的情況，以免漏解．