Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OB=OC=3OA．
（I）求拋物線的解析式；
（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（III）直線y=-

1

3

x+1交y軸于D點，E為拋物線頂點．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值．

Answer 1

分析：（1）易得點C坐標(biāo)，根據(jù)OB=OC=3OA可得點A，B坐標(biāo)．代入二次函數(shù)解析式即可．
（2）點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形，那么應(yīng)分點P，A，C三個頂點為直角頂點三種情況進(jìn)行探討．
（3）可求得E，D坐標(biāo)，得到△BCE的形狀，進(jìn)而可把∠CBE轉(zhuǎn)移為∠DBO，求解．

解答：解：（I）拋物線y=ax²+bx-3與y軸交于點C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax²+bx-3，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
∴y=x²-2x-3．

（II）①當(dāng)∠P₁AC=90°時，可證△P₁AO∽△ACO，
∴Rt△P₁AO中，tan∠P₁AO=tan∠ACO=

1

3

，
∴P1(0，

1

3

)．
②同理：如圖當(dāng)∠P₂CA=90°時，P₂（9，0）
③當(dāng)∠CP₃A=90°時，P₃（0，0），
綜上，坐標(biāo)軸上存在三個點P，
使得以點P，A，C為頂點的三角形為直角三角形，
分別是P₁（0，

1

3

），P₂（9，0），P₃（0，0）．

（III）由y=-

1

3

x+1，得D（0，1）
由y=x²-2x-3得到頂點E（1，-4），
∴BC=3

2

，CE=

2

，BE=2

5

，
∵BC²+CE²=BE²，
∴△BCE為直角三角形．
∴tanβ=

CE

CB

=

1

3

．
又∵Rt△DOB中tan∠DBO=

OD

OB

=

1

3

．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45度．

點評：通常采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
三角形為直角三角形，那么三個頂點都有可能為直角頂點．