Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2．點P，Q分別是BC，AD邊上的一個動點，連結BQ，以P為圓心，PB長為半徑的⊙P交線段BQ于點E，連結PD．

（1）若DQ＝且四邊形BPDQ是平行四邊形時，求出⊙P的弦BE的長；

（2）在點P，Q運動的過程中，當四邊形BPDQ是菱形時，求出⊙P的弦BE的長，并計算此時菱形與圓重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE＝；菱形與圓重疊部分的面積為．

【解析】

（1）作PT⊥BE于點T，根據垂徑定理和勾股定理求BQ的值，再根據相似三角形的判定和性質即可求解；

（2）根據菱形性質和勾股定理求出菱形邊長，此時點E和點Q重合，再根據扇形面積公式即可求解．

解：（1）如圖：

過點P作PT⊥BQ于點T，

∵AB＝2，AD＝BC＝2，DQ＝，

∴AQ＝，

在Rt△ABQ中，根據勾股定理可得：BQ＝．

又∵四邊形BPDQ是平行四邊形，

∴BP＝DQ＝，

∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，

∴△AQB∽△TBP，

∴

∴BT=，

∴BE＝2BT＝．

（2）設菱形BPDQ的邊長為x，

則AQ＝2﹣x，

在Rt△ABQ中，根據勾股定理，得

AB2+AQ2＝BQ2，

即4+（2﹣x）2＝x2，

解得x＝.

∵四邊形BPDQ為菱形，∴BP=DP=,

又CP=BC-BP=,即DP=2CP,

∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，

∴連接PQ,易得△BPQ為等邊三角形，

∴PQ=BP,

∴點Q也在圓P上，圓P經過點B,D,Q,如圖.

∴點E、Q重合，

∴BE＝.

∴菱形與圓重疊部分面積即為菱形的面積，

∴S菱形＝．