Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線經過點兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△ACM的周長最小，求點M的坐標．

（3）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P,Q兩點（點P在點Q的左側），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP,DQ．若點P的橫坐標為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標；

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1，2）；（3）的面積最大值為8，此時點的坐標為，．

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）本題是典型的“將軍飲馬”問題，由拋物線的對稱性知：點A關于對稱軸的對稱點為點B，故只需連接BC交直線x=1于點M，則M就是使得△ACM周長最小的點，然后根據待定系數法求出直線BC的解析式，而拋物線的對稱軸易求，則點M的坐標可得；

（3）根據題意易求出點P、Q兩點坐標，然后利用待定系數法可求出直線PQ的解析式，過點作DE∥y軸交直線于點，如圖④，設點D的橫坐標為x，則DE的長可用含x的代數式表示，再根據可得關于x的關系式，然后根據二次函數的性質即可求出結果．

解：（1）將、代入，得：

，

解得：，

拋物線的表達式為；

（2）∵拋物線的解析式是，

當x=0時，y=3，

∴點C的坐標為（0，3），拋物線的對稱軸為直線x=1，

根據拋物線的對稱性知：點A關于對稱軸的對稱點為點B，連接BC交直線x=1于點M，則M就是使得△ACM周長最小的點，如圖③，

設直線BC的解析式為y=kx+3，

∵點B（3，0）在直線BC上，

∴0=3k+3，

解得：k=﹣1，

即直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣1+3=2，

故BC與對稱軸的交點M的坐標為（1，2），

∴△ACM周長最小時，點M的坐標為（1，2）；

（3）當點的橫坐標為時，點的橫坐標為，

此時點的坐標為，，點的坐標為，．

設直線的表達式為，

將，、，代入，得：，

解得：，

直線的表達式為．

如圖④，過點作DE∥y軸交直線于點，

設點的坐標為，則點的坐標為，

，

．

，

當時，的面積取最大值，最大值為8，此時點的坐標為，．