Question

甲題：關于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²=0的實數解為x₁和x₂．
（1）求m的取值范圍．
（2）當-=0時，求m的值．
乙題：如圖，在△ABC中，AC=AB，以AB為直徑的半⊙O交AC于點E交BC于點D，連AD、BE．
（1）求證：△BEC∽△ADC；
（2）BC²=2AB•CE．

Answer 1

【答案】分析：甲題：（1）根據一元二次方程有實數解，根的判別式△≥0列式求解即可；
（2）根據兩解的平方相等，分兩個解相等與互為相反數兩種情況求解；
乙題：（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB=∠AEB=90°，再根據等角的補角相等求出∠ADC=∠BEC，然后根據兩角對應相等，兩三角形相似證明；
（2）根據等腰三角形三線合一的性質可得CD=BC，然后根據割線定理列式整理即可得證．
解答：甲題：解：（1）∵方程有實數解為x₁和x₂，
∴△=（2m+1）²-4m²=4m+1≥0，
解得m≥-；

（2）∵x₁²-x₂²=0，
∴x₁=x₂或x₁=-x₂，
當x₁=x₂時，△=4m+1=0，
解得，m=-，
當x₁=-x₂時，x₁+x₂=-（2m+1）=0，
解得m=-，
∵-＜-，
∴兩解互為相反數時不符合題意，舍去，
故，m的值為-；

乙題：（1）證明：∵AB為半⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
又∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；

（2）∵AC=AB，∠ADB=90°，
∴BD=CD=BC（等腰三角形三線合一），
∵CD•BC=CE•AC，
∴BC•BC=CE•AB，
即BC²=2AB•CE．
點評：甲題主要考查了一元二次方程的根的判別式與根與系數的關系，（2）要分兩解相同與互為相反數兩種情況討論；乙題主要考查了相似三角形的判定，以及割線定理，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ADB=∠AEB=90°是解題的關鍵．